O Golden State Warriors será campeão este ano? O Ibovespa irá superar 100 mil pontos ainda em 2019? A Tesla finalmente conseguirá produzir veículos em grande escala e se tornar rentável? Estas três perguntas, embora distintas, carregam um ponto em comum: a incerteza do agente acerca do futuro de seu meio de atuação. Assim como o universo esportivo, o financeiro também é repleto de incertezas que, em última instância, determinam as ações dos mais diversos atores. Alguns preferem se proteger do futuro incerto e criam mecanismos de hedge, outros acreditam que possuem mais informações que os demais e resolvem usá-las para aumentar seus lucros. Uma das maneiras utilizadas por traders, tesoureiros e CFOs para aumentar seus lucros ou protegerem seus ativos é a negociação de uma classe de derivativos denominada opção.
Define-se como opção todo e qualquer ativo financeiro que permita ao detentor comprar ou vender um determinado título mobiliário, por um preço pré-determinado, dentro de um determinado intervalo de tempo ou data específica.
As opções que dão aos seus detentores o direito de comprar uma determinada quantidade de ações, por um preço acordado anteriormente, são denominadas calls. Em contrapartida, as opções que dão direito à venda de ativos por preço estipulado anteriormente são denominadas puts. Apesar de proporcionarem direitos distintos, calls e puts podem ser divididas em:
i) Americanas: permitem ao detentor comprar (vender) um ativo a qualquer momento até a maturidade do contrato. Este tipo de ativo costuma ser precificado através do Modelo Binomial, que não será abordado neste artigo.
ii) Europeias: conferem ao investidor o direito de realizar a compra (venda) de um determinado ativo em uma data acordada entre as partes distintas. Diferentemente das opções americanas, as europeias são precificadas através do Modelo Black-Scholes-Merton, que será abordado adiante.
Antes de entendermos a precificação das opções europeias, devemos conhecer os payoffs de posições compradas (long) em calls e puts.
Ao comprar uma call, o investidor terá um P&L negativo devido ao desembolso realizado para obter o ativo. Este permanecerá constante enquanto o preço do ativo-objeto (ação) for menor que o strike (valor definido para compra do AO). Após o preço do ativo-objeto superar o strike, o P&L do investidor se tornará positivo, tornando a opção exercível e, assim, permitindo o detentor comprar o ativo por um preço abaixo do praticado no mercado e vendê-lo imediatamente. A ponta vendida (short) na call obterá lucro se, e somente se, o valor do ativo-objeto não superar o strike fixado.
Diferentemente da call, o investidor que adquire uma put contará com um P&L positivo uma vez que o preço do ativo-objeto é superior ao strike. Ao contrário de uma call, uma put se torna cada vez mais lucrativa com quedas no preço do ativo-objeto, ou seja, o ganho do detentor é dado pela diferença entre o preço spot e o strike. Caso o preço de mercado supere o preço de venda fixado, o investidor que possui as ações preferirá vendê-las no mercado a vista.
Durante a negociação de uma opção, o investidor costuma se deparar com o conceito de moneyness, ou posição relativa entre o preço spot do ativo subjacente e o strike do contrato. Uma opção é considerada in the money quando esta dá lucro caso seja exercida imediatamente. Do contrário, o contrato pode ser out of the Money. Caso o preço do ativo-objeto seja igual ao strike, o contrato é caracterizado como at the Money.
Escrito por Fisher Black e Myron Scholes, o artigo “Pricing Options and Corporate Liabilities” trouxe a público uma das maiores inovações do campo das finanças, um modelo analítico para a precificação de opções europeias. O modelo Black-Scholes foi desenvolvido a partir de uma equação diferencial parcial que correlaciona taxas de variação do preço de um ativo em relação ao tempo e ao seu preço spot. Utilizando-se o método algébrico e condições de contorno adequados, a EDP terá como soluções duas funções que utilizam variáveis conhecidas para o processo de precificação: valor e volatilidade do ativo-objeto, taxa de juros de curto prazo e data de exercício da opção. Tendo em vista sua coesão, o modelo utiliza as seguintes hipóteses:
i) é possível negociar continuamente qualquer fração do valor do ativo;
ii) a taxa livre de risco é igual para todos os vencimentos;
iii) não há oportunidade de arbitragem;
iv) é permitido vender a descoberto;
v) o preço do ativo-objeto segue um movimento browniano geométrico e não paga dividendos;
vi) não há custos de transação;
Ou seja, a variação infinitesimal do preço do ativo-objeto é determinada por uma componente de drift, que determina a tendência de preço através da média “µ”, enquanto o termo “σSdZ” rege a variabilidade do processo por meio do desvio-padrão “σ”. Sabemos que uma opção nada mais é que um derivativo e, por conta disso, sua função preço é do tipo V(S, t), i.e, preço do ativo-objeto e tempo, respectivamente. Pelo Lema de Itô, uma identidade do cálculo estocástico, temos que:
Dentro do escopo do modelo, vendas a descoberto são permitidas. Sendo assim, podemos definir o portfólio especial delta hedge (não esqueça este nome), obtido através da venda de uma opção e compra de uma quantidade infinitesimal do ativo-objeto. Portanto:
Onde:
C (S, K, T, r, σ) é a função preço de uma call europeia.
P (S, K, T, r, σ) é a função preço de uma put europeia.
“S”: preço spot do ativo-objeto.
“K”: strike da opção.
“T”: período de tempo, em anos, até o exercício do contrato.
“r”: taxa livre de risco do mercado em questão.
“σ”: volatilidade do ativo-objeto.
“N(d1)”: termo de probabilidade condicional aplicado à distribuição normal. Representa o preço futuro do ativo subjacente se, e somente se, o preço spot estiver acima do preço de strike definido para o contrato.
“N(d2)”: função cumulativa de distribuição normal (0 < N(d2) < 1) que indica a probabilidade do spot do ativo-objeto estar no strike, ou acima (abaixo) deste na maturidade do contrato.
Imagine a seguinte situação: como precificar uma opção de uma ação que paga dividendos? Essa pergunta tornou-se trivial graças à contribuição de Robert C. Merton para o Modelo Black-Scholes, que passou a ser conhecido como Black-Scholes-Merton. Inúmeras empresas de capital aberto costumam pagar dividendos diversas vezes ao longo de um ano. Partindo deste pressuposto, Merton aproximou a taxa do dividendo como contínua e a incorporou ao discount factor “e-qt” do spot do ativo-objeto. A adição do elemento exponencial replica a queda do preço da ação (igual ao valor do dividendo pago) na data ex-dividendo. Realizando os devidos ajustes algébricos, as equações do Modelo serão:
Apesar das premissas pouco realistas, o Modelo Black-Scholes-Merton é amplamente utilizado pelos mais diversos profissionais do setor financeiro, e ainda é aperfeiçoado por acadêmicos ao redor do mundo.
Um processo de investimento, seja ele qual for, não consiste somente na precificação do ativo em questão. É preciso conhecer os riscos, custos e comportamento do ativo dentro de certos cenários. Por isso, ao longo do tempo, foram desenvolvidas ferramentas de gerenciamento de risco para opções denominadas gregas. Estas são derivadas parciais, i.e, taxas de variação do contrato em relação ao preço e volatilidade do ativo-objeto, tempo e taxa livre de risco. Serão apresentadas abaixo as gregas de primeira e segunda ordens.
Delta (Δ)
A mais famosa das gregas, mede a variação do valor da opção em relação ao valor do ativo-objeto. Ou seja:
O conceito de “delta” foi empregado na modelagem da equação diferencial de BS, com a introdução do portfólio Π, que conta com uma unidade de opção e delta unidades do ativo-objeto, resultando em uma carteira livre de risco.
Para posições compradas em calls, o delta assume valores no intervalo [0;1], ao passo que posições long em puts apresentam delta entre [-1;0]. Quando uma opção está “muito” dentro-do-dinheiro, está apresentará delta igual a 1 ou -1, enquanto uma opção fora-do-dinheiro apresentará delta próximo de zero. Em suma, o delta também funciona como uma aproximação de moneyness da opção.
Gama (Γ)
É a segunda derivada do preço da opção em relação ao ativo subjacente, ou a taxa de variação do delta para cada unidade monetário do preço do ativo-objeto. Sua fórmula é dada por:
O gama indica a estabilidade do delta de uma opção, i.e, a cotação de um contrato com gama elevado sofrerá variações bruscas com pequenas mudanças no preço do papel subjacente. Em geral, opções at the money apresentam gama mais elevado que opções in the Money ou out of the Money.
Theta (Θ)
Representa a taxa de decaimento do valor da opção ao longo do tempo, em outras palavras, theta indica o aumento do custo de oportunidade de uma opção europeia. Em geral, os valores de calls e puts são menores quanto menor for o período para vencimento do respectivo contrato, mantendo as outras variáveis Ceteris Paribus. As fórmulas de Theta são:
Rho (Ρ)
Representa a taxa de variação do preço da opção em relação à taxa de juros. É uma das gregas que menos apresenta risco para uma carteira de opções porque, de acordo com o modelo BSM, a taxa de juros é considerada praticamente constante durante a existência do contrato. Como as opções são pouco sensíveis à taxa de juros, rô costuma ser uma variável pouco analisada no processo de avaliação uma opção. Sua fórmula é dada por:
Todos os gráficos presentes no texto foram gerados a partir de uma opção fictícia de PETR4 com as seguintes especificações:
Preço do ativo-objeto: R$ 25,43
Strike: R$ 30,00
Taxa livre de risco discreta: 6.5% a.a
Dividend yield: 11,20% a.a
Volatilidade histórica: 54,0%
Intervalo até a maturidade (anualizado): 0,083
Bibliografia:
- Giambiagi, Fabio. Derivativos e Risco de Mercado. PUC-Rio, 2018.
- Hull, J. Options, Futures, and other Derivatives. Pearson Educated Limited, 2012.
- Edwin J.Elton. et al. Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos. Elsevier, 2012.